Question

15．如图是某四面体ABCD水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD外接球的表面积为（　　）

• A． 20π
• B． $\frac{125}{6}π$
• C． 25π
• D． 100π

Answer 1

分析 还原三视图成直观图，得到如图所示的三棱锥P-ABC，其中AC⊥BC，PA⊥平面ABC，AB=BC=2$\sqrt{2}$且PA=3．利用线面垂直的判定与性质，证出PB是Rt△PAB与Rt△PBC公共的斜边，从而得到PB的中点O就是多面体的外接球的球心．再根据勾股定理和球的表面积公式加以计算，可得答案．

解答 解：根据三视图的形状，将该多面体还原成直观图，得到如图所示的三棱锥P-ABC．
其中△ABC中，AC=4，AB=BC=2$\sqrt{2}$，PA⊥平面ABC，PA=3
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC．
∵BC⊥AC，PA∩AC=C，∴BC⊥平面PAC
结合PC?平面PAC，得BC⊥PC
因此，PB是Rt△PAB与Rt△PBC公共的斜边，设PB的中点为0，则OA=OB=OC=OP=$\frac{1}{2}$PB．
∴PB的中点O就是多面体的外接球的球心
∵Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，
∴AB=2$\sqrt{2}$．
又∵Rt△PAB中，PA=3，
∴PB=$\sqrt{P{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
所以外接球表面积为S=4πR²=25π．
故选：C．

点评 本题给出三视图，求多面体的外接球的表面积．着重考查了三视图的认识、线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题．