Question

13．已知函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+（b+1）x-3}{x-1}$．
（1）当a=1，b=2时，求函数f（x）（x≠1）的值域，
（2）当a=0时，求f（x）＜1时，x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据分式的性质，利用分子常数化，转化为基本不等式进行求解即可．
（2）将分式不等式转化为一元二次不等式，讨论参数b的取值范围进行求解即可．

解答 解：（1）∵当a=1，b=2时，f（x）=$\frac{{x}^{2}+3x-3}{x-1}$=x-1+$\frac{1}{x-1}$+5，（x≠1）              （1分）
?当x＞1时，即x-1＞0．
∴f（x）=x-1+$\frac{1}{x-1}$+5≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$+5=2+5=7             （2分）
当且仅当x-1=$\frac{1}{x-1}$，即x=2时取等号              3分
?当x＜1．
f（x）=x-1+$\frac{1}{x-1}$+5=5-[-（x-1）-$\frac{1}{x-1}$]≤-2$\sqrt{（1-x）•\frac{1}{1-x}}$+5=-2+5=3        4分
当且仅当-（x-1）=-$\frac{1}{x-1}$，即x=0时取等号  
所以函数f（x）的值域（-∞，3]∪[7，+∞）…（5分）
（2）当a=0时，f（x）=$\frac{（b+1）x-3}{x-1}$＜1，即$\frac{bx-2}{x-1}$＜0，?（bx-2）（x-1）＜0…（7分）
①当b=0时，解集为{x|x＞1}…（8分）
②当b＜0时，解集为{x|x＞1或x＜$\frac{2}{b}$}…（9分）
③当$\frac{2}{b}$=1，即b=2，解集为∅…（10分）
④当$\frac{2}{b}$＞1，即0＜b＜2时，解集为{x|1＜x＜$\frac{2}{b}$}；…（11分）
⑤当0＜$\frac{2}{b}$＜1，即b＞2时，解集为{x|$\frac{2}{b}$＜x＜1}；…（12分）

点评 本题主要考查函数值域和不等式的求解，根据分式不等式的性质转化为基本不等式以及一元二次不等式是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．