Question

15．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD为平行四边形，AA₁⊥平面ABCD，∠BAD=60°，AB=2，BC=1．AA₁=$\sqrt{6}$，E为A₁B₁的中点．
（1）求证：平面A₁BD⊥平面A₁AD；
（2）求多面体A₁E-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）求出BD，再利用勾股定理的逆定理证明BD⊥AD，结合BD⊥AA₁即可得出BD⊥平面A₁AD，从而平面A₁BD⊥平面A₁AD；
（2）将多面体分解成三棱锥C-A₁BE和四棱锥A₁-ABCD，分别计算两个棱锥的体积即可得出多面体的体积．

解答 证明：（1）∵AB=2，AD=BC=1，∠BAD=60°，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}-2AB•AD•cos60°}$=$\sqrt{3}$，
∴BD²+AD²=AB²，∴AB⊥AD，
∵AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥AA₁，又AA₁∩AD=A，AA₁?平面A₁AD，AD?平面A₁AD，
∴BD⊥平面A₁AD，又BD?平面A₁BD，
∴平面A₁BD⊥平面A₁AD．
解：（2）连接A₁C，S_{四边形ABCD}=2S_△ABD=2×$\frac{1}{2}×AD×BD$=$\sqrt{3}$，
∴V${\;}_{{A}_{1}-ABCD}$=$\frac{1}{3}{S}_{四边形ABCD}•A{A}_{1}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{6}$=$\sqrt{2}$，
设C到AB的距离为h，则h=$\frac{{S}_{四边形ABCD}}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则C到平面ABB₁A₁的距离为h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴V${\;}_{C-{A}_{1}BE}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}BE}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{6}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴多面体A₁E-ABCD的体积V=V${\;}_{{A}_{1}-ABCD}$+V${\;}_{C-{A}_{1}BE}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定定理，棱锥的体积计算，寻找垂直关系是解题关键，属于中档题．