Question

18．已知复数z满足：z+|z|-4-2i=0
（1）求z在复平面上对应的点的坐标；
（2）求$\frac{（1+i）^{2}z}{（2+i）^{2}}$的共轭复数．

Answer 1

分析 （1）利用复数的运算法则、模的计算公式、复数相等即可得出．
（2）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．

解答 解：（1）设z=x+yi（x，y∈R），∵z+|z|-4-2i=0，
∴x+yi+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$-4-2i=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}-4=0}\\{y-2=0}\end{array}\right.$，解得y=2，x=$\frac{3}{2}$．
∴z=$\frac{3}{2}$+2i．
其在复平面上对应的点的坐标为$（\frac{3}{2}，2）$．
（2）由（1）知z=$\frac{3}{2}$+2i．
∴$\frac{（1+i）^{2}z}{（2+i）^{2}}$=$\frac{2i（\frac{3}{2}+2i）}{3+4i}$=$\frac{-4+3i}{3+4i}$=i，
其共轭复数为-i．
∴所求共轭复数为-i．

点评 本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、复数相等、共轭复数的定义、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．