Question

12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=x-x²，若f（m）+f（m-2）＞0，则实数m的取值范围是（1，+∞）．

Answer 1

分析 函数f（x）是定义在R 上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=x-x²，可得出函数在R上是增函数，由此性质转化求解不等式，解出参数范围即可．

解答 解：函数f（x）当x＜0时，f（x）=x-x²，由二次函数的性质知，它在（-∞，0）上是增函数，
又函数f（x）是定义在R 上的奇函数，
故函数f（x）是定义在R 上的增函数，
∵f（m）+f（m-2）＞0，可得f（m）＞-f（m-2）=f（2-m）
∴m＞2-m，解得：1＜m，
实数m 的取值范围是（1，+∞）
故答案为：（1，+∞）．

点评 本题考查奇偶性与单调性的综合，求解本题关键是根据函数的奇偶性与单调性得出函数在R上的单调性，利用单调性将不等式f（m）+f（m-2）＞0转化为代数不等式，求出实数m 的取值范围，本题是奇偶性与单调性结合的一类最主要的题型．