Question

已知定义在R上的函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0，a，b为实常数，ab≠0），f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）试探究a与b所满足的关系，使得f（-

π

4

-x）=f（x）对一切x∈R恒成立．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意易得

2π

ω

=π，解得ω=2；
（2）由恒成立可得-acos2x-bsin2x=asin2x+bcos2x可得（a+b）（sin2x+cos2x）=0对一切x∈R恒成立，可得a+b=0

解答： 解：（1）∵f（x）=asinωx+bcosωx的最小正周期为π，
∴

2π

ω

=π，解得ω=2；
（2）由（1）知f（x）=asin2x+bcos2x
∴f（-

π

4

-x）=asin（-

π

2

-2x）+bcos（-

π

2

-2x）=-acos2x-bsin2x，
∴-acos2x-bsin2x=asin2x+bcos2x，
∴（a+b）（sin2x+cos2x）=0对一切x∈R恒成立，
∴a+b=0

点评：本题考查三角函数公式和周期性，涉及恒成立问题，属基础题．