Question

16．已知函数f（x）=|2x-1|-m，且不等式f（x）≤0的解集为[0，1]．
（1）求实数m的值；
（2）若a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$=m，求a+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出不等式的解集，得到关于m的方程，解出m的值即可；
（2）a+b=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$），根据基本不等式的性质求出a+b的最小值即可．

解答 解：（1）由已知得|2x-1|-m≤0，所以|2x-1|≤m，
即-m≤2x-1≤m，解得：$\frac{1-m}{2}$≤x≤$\frac{1+m}{2}$，
因为不等式f（x）≤0的解集为[0，1]，
所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-m}{2}=0}\\{\frac{1+m}{2}=1}\end{array}\right.$，解得m=1．
（2）由（1）知$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$=1，
所以a+b=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$）=$\frac{3}{2}$+（$\frac{a}{2b}$+$\frac{b}{a}$），
因为a＞0，b＞0，所以$\frac{a}{2b}$+$\frac{b}{a}$≥2$\sqrt{\frac{a}{2b}•\frac{b}{a}}$=$\sqrt{2}$，
当且仅当$\frac{a}{2b}$=$\frac{b}{a}$，即a=$\sqrt{2}$b时取等号，
因为$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$=1，此时a=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，b=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，
所以a+b≥$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$，即a+b的最小值为$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．