Question

16．在平面直角坐标系xOy中，点P（t²，2t）（t为参数），若以原点O为原点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+2=0
（1）求点P的轨迹方程．
（2）求一点P，使它到直线l的距离最小，并求最小值．

Answer 1

分析 （1）点P（t²，2t）（t为参数），可得$\left\{\begin{array}{l}{x={t}^{2}}\\{y=2t}\end{array}\right.$，消去参数t化为普通方程即可得出．
（2）曲线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+2=0，化为直角坐标方程：x-y+2=0．利用点到直线的距离公式可得：点P（t²，2t）到直线l的距离d，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）点P（t²，2t）（t为参数），可得$\left\{\begin{array}{l}{x={t}^{2}}\\{y=2t}\end{array}\right.$，消去参数t化为普通方程，y²=4x．即为点P的轨迹方程．
（2）曲线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+2=0，化为直角坐标方程：x-y+2=0．
点P（t²，2t）到直线l的距离d=$\frac{|{t}^{2}-2t+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{（t-1）^{2}+1}{\sqrt{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，当且仅当t=1时取等号．
∴取点P（1，2），它到直线l的距离最小，最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程的应用、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．