Question

11．已知a∈R，a＞1，解不等式（a-1）x²-ax+1＞0．

Answer 1

分析 不等式化为[（a-1）x-1]（x-1）＞0，由a＞1，求出不等式对应方程的两个实数根，讨论a的取值范围，求出对应不等式的解集即可．

解答 解：不等式（a-1）x²-ax+1＞0可化为[（a-1）x-1]（x-1）＞0，
∵a＞1，∴a-1＞0，
不等式（x-$\frac{1}{a-1}$）（x-1）＞0对应方程的两个实数根为$\frac{1}{a-1}$和1，
令$\frac{1}{a-1}$=1，解得a=2，不等式为（x-1）²＞0，解集为{x|x≠1}；
当1＜a＜2时，$\frac{1}{a-1}$＞1，不等式的解集为{x|＜1或x＞$\frac{1}{a-1}$}；
当a＞2时，$\frac{1}{a-1}$＜1，不等式的解集为{x|x＜$\frac{1}{a-1}$或x＞1}；
综上，a=2时，不等式的解集为{x|x≠1}；
1＜a＜2时，不等式的解集为{x|＜1或x＞$\frac{1}{a-1}$}；
a＞2时，不等式的解集为{x|x＜$\frac{1}{a-1}$或x＞1}．

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．