题目内容
某工厂要建造一座平面为长方形，且面积为200m2的三级污水处理池（平面图形如图），处理池的高度一定．如果四周围池壁造价为400元/m，中间两道隔墙造价为248元/m，池底造价为80元/m2．水池所有墙的厚度都忽略不计．（Ⅰ）怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？
（Ⅱ）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出此时的最低总造价．
分析：（1）污水处理池的底面积一定，设宽为x米，可表示出长，从而得出总造价y，利用基本不等式求出最小值；
（2）由长和宽的限制条件，得自变量x的范围，判断总造价函数y在x的取值范围内的函数值变化情况，求得最小值．
（2）由长和宽的限制条件，得自变量x的范围，判断总造价函数y在x的取值范围内的函数值变化情况，求得最小值．
解答：解：（Ⅰ）设污水池总造价为y元，污水池长为x m．则宽为
m，水池外圈周壁长为2x+2•
（m），中间隔墙长2•
（m），池底面积200（m2）．
∴y=400（2x+2•
）+248•
•2+80×200=800（x+
）+16000
≥1600
+16000=44800．
当且仅当x=
，即x=18，
=
时，ymin=44 800．
即当污水池长为18m，宽为
m时，总造价最低，最低为44800元；
（Ⅱ）由限制条件知
，∴12.5≤x≤16．
设g（x）=x+
（12.5≤x≤16），
由函数性质易知g（x）在[12.5，16]上是减增函数，
∴当x=16m时（此时
=12.5m），g（x）有最小值，即y有最小值，ymin=45000（元）．
∴当长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，为45000元．
| 200 |
| x |
| 200 |
| x |
| 200 |
| x |
∴y=400（2x+2•
| 200 |
| x |
| 200 |
| x |
| 324 |
| x |
≥1600
x•
|
当且仅当x=
| 324 |
| x |
| 200 |
| x |
| 100 |
| 9 |
即当污水池长为18m，宽为
| 100 |
| 9 |
（Ⅱ）由限制条件知
|
设g（x）=x+
| 324 |
| x |
由函数性质易知g（x）在[12.5，16]上是减增函数，
∴当x=16m时（此时
| 200 |
| x |
∴当长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，为45000元．
点评：本题考查了建立函数解析式，利用基本不等式求函数最值的能力，还考查了函数的单调性和运算能力，属于中档题．
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