Question

4．函数f（x）=3sin（ωx+$\frac{π}{4}$）+2（ω＞0）图象的对称中心和g（x）=2tan（$\frac{1}{2}$x+φ）+2图象的对称中心完全相同．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，0]上的最大值M和最小值m．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数题意，得出g（x）与f（x）的最小正周期相同，求出即可；
（Ⅱ）利用正弦函数的图象与性质，即可求出f（x）在闭区间上的最值．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）图象的对称中心和g（x）图象的对称中心完全相同，
且g（x）图象的最小正周期为$\frac{π}{\frac{1}{2}}$=2π，
∴f（x）的最小正周期T=2π，且ω=1；
（Ⅱ）∵f（x）=3sin（x+$\frac{π}{4}$）+2，
且当x∈[-$\frac{π}{2}$，0]时，x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
∴sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴3sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]，
∴3sin（x+$\frac{π}{4}$）+2∈[2-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]，
∴函数f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值为M=2+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
最小值为m=2-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了正弦函数与正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．