Question

（本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点分别为和,离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线（）与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，当变化时,求面积的最大值.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）求椭圆的标准方程，由再加上可得结论；（2）直线与圆锥曲线相交问题，又涉及到交点弦，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立方程组，然后消去（有时也可消去）得关于（或）的一元二次方程，再设交点为坐标为，则可得，（用表示），同时这个方程中判别式（直线与椭圆相交），可得出的取值范围.由此可由公式得出弦长，中点横坐标为，进而可写出的中垂线方程，可得与轴相交的交点的坐标，于是有，这是关于的一个函数，利用函数的知识或不等式的性质可求得最大值.

试题解析：（1）由已知椭圆的焦点在轴上，，，，，

椭圆的方程为

（2），消去得

直线与椭圆有两个交点，，可得（*）

设，

，，弦长，

中点， 设，，，

，

，时，，

考点：1.椭圆方程及性质；2.直线与椭圆的综合问题.