Question

13．已知f（x）=x³-6x，过点A（2，m）（m≠-4）可作曲线y=f（x）的三条切线，求m的取值范围．

Answer 1

分析 利用导数的几何意义以及导数的应用建立条件关系即可，要注意对点是否在曲线上进行讨论．

解答 解：过点A（2，m）向曲线y=f（x）作切线，
设切点为（x₀，y₀）
则y₀=x₀³-6x₀，k=f'（x₀）=3x₀²-6．
则切线方程为y-（x₀³-6x₀）=（3x₀²-6）（x-x₀），
将A（2，m）代入上式，整理得2x₀³-6x₀²+m+12=0．
∵过点A（2，m）（m≠-4）可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴方程2x₀³-6x₀²+m+12=0（*）有三个不同实数根，
记g（x）=2x³-6x²+m+12=0，g'（x）=6x²-12x=6x（x-2），
令g'（x）=0，x=0或2，
则x，g'（x），g（x）的变化情况如下表

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	递增	极大	递减	极小	递增

当x=0，g（x）有极大值m+12；x=2，g（x）有极小值m+4．
由题意有，当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{g（0）＞0}\\{g（2）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m+12＞0}\\{m+4＜0}\end{array}\right.$，
解得-12＜m＜-4时，
函数g（x）有三个不同零点、
此时过点A可作曲线y=f（x）的三条不同切线．
故m的范围是（-12，-4）．

点评 本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．综合性较强，运算量较大．