Question

15．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{{2^x}-1}|，x＜1\\ 2-x，x≥1\end{array}\right.$，若关于x的函数y=2f²（x）+2bf（x）+1有6个不同的零点，则实数b的取值范围是（-$\frac{3}{2}$，-$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 根据f（x）的图象判断f（x）=t的解的情况，从而得出关于t的方程2t²+2bt+1=0的根的分布情况，根据二次函数的性质列不等式组解出b的范围．

解答 解：作出f（x）的函数图象如下：

设f（x）=t，则当t=1或t＜0时，方程f（x）=t只有1解，
当t=0时，方程f（x）=t有2解，
当0＜t＜1时，方程f（x）=t有3解，
当t＞1时，方程f（x）=t无解．
∵关于x的函数y=2f²（x）+2bf（x）+1有6个不同的零点，
∴关于t的方程2t²+2bt+1=0在（0，1）上有两解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{b}^{2}-8＞0}\\{0＜-\frac{b}{2}＜1}\\{2+2b+1＞0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{3}{2}$＜b＜-$\sqrt{2}$．
故答案为：（-$\frac{3}{2}$，-$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了方程根的个数与函数图象的关系，二次函数的性质，属于在中档题．