Question

已知MA，MB是曲线C：y=

x2

4

的两条切线，其中A，B是切点，
（I）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（II）若直线AB过曲线C的焦点F，求△MAB面积的最小值．

Answer 1

分析：（I）对曲线C，进行求导，求出直线MA的方程和直线MB的方程，只要证明点M的中点横坐标为A、B横坐标的一般即可；
（II）将直线AB与曲线C联立，求出AB的长，得M的中点坐标，再根据点到直线的距离，求出点M到直线AB的距离，求出△MAB面积关于k的表达式；

解答：解：（I）证明：y′=

1

2

x，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
直线MA的方程为y-y₁=

1

2

x₁（x-x₁）①，直线MB的方程为y-y₂=

1

2

x₂（x-x₂）②，
①-②得：点M的横坐标x=

x1+x2

2

，所以点A，M，B的横坐标成等比数列，
（II）焦点F的坐标为（0，1），显然直线AB的斜率是存在的；
设直线AB的方程为y=kx+1
将直线AB的方程代入y=

1

4

x²得：x²-4kx-4=0（△＞0）
|AB|=4（1+k²），且x_M=2k，又由①②得：y_M=

1

4

x₁x₂=-1，
从而点M到直线AB的距离d=2

1+k2

，
S_△MAB=4(1+k2)

3

2

≥4  当且仅当k=0时取等号；
故△MAB面积的最小值为4；

点评：第一问根据等差数列的性质，比较简单，第二问难度比较大，需要联立方程，计算量比较大，同学们要认真进行计算，此题难度中等；