Question

9．已知数列{a_n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N^*，且{a_n}中任意两项之和也是该数列中的一项．若${a_1}={6^m}$，其中m为给定的正整数，则d的所有可能取值的和为$\frac{1}{2}（{{2^{m+1}}-1}）（{{3^{m+1}}-1}）$．

Answer 1

分析 由公差d是${a}_{1}={6}^{m}$的约数，得到d=2ⁱ•3^j，（i，j=0，1，2，…，m），由此能求出d的所有可能取值之和．

解答 解：∵数列{a_n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N^*，且{a_n}中任意两项之和也是该数列中的一项，
∴公差d是${a}_{1}={6}^{m}$的约数，
∴d=2ⁱ•3^j，（i，j=0，1，2，…，m），
∴d的所有可能取值之和为：
$\sum_{i=0}^{m}{2}^{i}•\sum_{j=0}^{m}{3}^{j}$=$\frac{1}{2}（{{2^{m+1}}-1}）（{{3^{m+1}}-1}）$．
故答案为：$\frac{1}{2}（{{2^{m+1}}-1}）（{{3^{m+1}}-1}）$．

点评 本题考查等差数列的公差的所有可能取值之和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．