Question

12．等比数列{a_n}中，已知对任意正整数n，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ+m，则a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²等于（　　）

• A． $\frac{1}{3}（{4^n}+m）$
• B． $\frac{1}{3}（{2^n}-1）$
• C． （4ⁿ-1）
• D． （2ⁿ+m）²

Answer 1

分析 先求出a₁=2+m，a₂=2，a₃=4，∴m=-1，a₁=1，从而{${{a}_{n}}^{2}$}是首项为1，公比为4的等比数列，由此能求出a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²的值．

解答 解：∵等比数列{a_n}中，对任意正整数n，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ+m，
∴a₁=2+m，a₁+a₂=4+m，a₁+a₂+a₃=8+m，
∴a₁=2+m，a₂=2，a₃=4，∴m=-1，a₁=1，
∴${{a}_{1}}^{2}$=1，${{a}_{2}}^{2}$=4，${{a}_{3}}^{2}$=16，
∴{${{a}_{n}}^{2}$}是首项为1，公比为4的等比数列，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$=$\frac{1}{3}（{4}^{n}+m）$．
故选：A．

点评 本题考查等比数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．