Question

4．已知{a_n}为正项等比数列，且a₁a₃=4，a₄=8，数列{b_n}前n项和为S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n．
（1）试求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等比数列等比中项可知求得a₂=2，a₄=8，即可求得公比q及a₁的值，即可写出{a_n}的通项公式，根据${b}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}}&{n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n}}&{n≥2}\end{array}\right.$，可得b_n；
（2）利用等比数列的前n项和公式、“错位相减法”即可得出．

解答 解：（1）知{a_n}为正项等比数列，a₁a₃=4，
由等比中项a₁a₃=a₂²，得a₂=2，
a₂•q²=a₄=8，得q=2，
∴a₁=1，
∴a_n=2^n-1，
当n=1，a₁=1，
由S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n①．
当n≥2时，S_n-1=$\frac{1}{2}$（n-1）²+$\frac{1}{2}$（n-1）②，
∴两式相减得：b_n=n．
当n=1，满足；
∴{b_n}的通项公式：b_n=n．
（2）c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴数列{c_n}的前n项和T_n，T_n=1+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{4}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{4}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n-1}}×\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴T_n=4-$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$．
数列{c_n}的前n项和T_n，T_n=4-$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．