Question

15．已知函数 f（x）=a（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数g（x）=-$\frac{a}{x}$．若至少存在一个x₀∈[1，4]，使得 f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，通过讨论①当a≤0时②当0＜a＜1时③当a≥1时，从而得出函数的单调区间；

解答 解：（1）∵函数f（x）=a（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx，其定义域为x＞0
∴f′（x）=a（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）-$\frac{2}{x}$=$\frac{a（1{+x}^{2}）-2x}{{x}^{2}}$，
令a（1+x²）-2x=ax²-2x+a=0，
∴△=4-4a²≥0，解得：-1≤a≤1
∵x＞0，∴0＜a≤1时f′（x）=0有解，
①当a≤0时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在定义域内单调递减；
②当0＜a＜1时，令a（1+x²）-2x=0，解得：x=$\frac{1+\sqrt{1{-a}^{2}}}{a}$，
x∈（0，$\frac{1+\sqrt{1{-a}^{2}}}{a}$）时，f′（x）＞0，x∈（  $\frac{1+\sqrt{1{-a}^{2}}}{a}$，+∞）时，f′（x）＜0，
③当a≥1时，f′（x）≥0，函数f（x）在定义域内单调增，
综上：当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在定义域内单调递减，
当0＜a＜1时，x∈（0，$\frac{1+\sqrt{1{-a}^{2}}}{a}$）时，函数f（x）单调递增；，x∈（  $\frac{1+\sqrt{1{-a}^{2}}}{a}$，+∞）时，函数f（x）单调递减；
当a≥1时，函数f（x）在定义域内单调增．（2）因为存在一个x₀∈[1，4]使得f（x₀）＞g（x₀），
则ax₀＞2lnx₀，等价于a＞$\frac{2l{nx}_{0}}{{x}_{0}}$，
令F（x）=$\frac{2lnx}{x}$，等价于“当x∈[1，4]时，a＞F（x）_min”．
对F（x）求导，得F′（x）=$\frac{2（1-lnx）}{{x}^{2}}$，
因为当x∈[1，e]时，F′（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上单调递增．
当x∈[e，4]时，F′（x）＜0，所以F（x）在[e，4]上单调递减．
所以F（x）_min=F（1）=0，因此a＞0．

点评 本题考查导数的几何意义、导数研究函数单调性及求函数的最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，对于“能成立”问题及“恒成立”问题往往转化为函数最值解决．