题目内容
已知函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1．
（1）若函数f（x）既有极大值又有极小值，则求实数a的取值范围．
（2）当a=3时，求f（x）的极值；并写出此时函数的增区间．
（1）若函数f（x）既有极大值又有极小值，则求实数a的取值范围．
（2）当a=3时，求f（x）的极值；并写出此时函数的增区间．
考点：利用导数研究函数的极值
专题：导数的综合应用
分析：（1）由已知得f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），△=36a2-36（a+2）＞0，由此能求出实数a的取值范围．
（2）当a=3时，f′（x）=3x2+18x+15，由此利用导数性质能求出f（x）的极值和写出此时函数的增区间．
（2）当a=3时，f′（x）=3x2+18x+15，由此利用导数性质能求出f（x）的极值和写出此时函数的增区间．
解答：
解：（1）∵f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1，
∴f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），
∵函数f（x）既有极大值又有极小值，
∴△=36a2-36（a+2）＞0，
解得a＜-1或a＞2．
实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（2，+∞）．
（2）当a=3时，
f′（x）=3x2+18x+15，
由f′（x）＞0，得x＜-5或x＞-1；由f′（x）＜0，得-5＜x＜-1，
∴x=-5时，有极大值26；x=-1时，有极小值-6．
增区间为（-∞，-5），（-1，+∞）．
∴f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），
∵函数f（x）既有极大值又有极小值，
∴△=36a2-36（a+2）＞0，
解得a＜-1或a＞2．
实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（2，+∞）．
（2）当a=3时，
f′（x）=3x2+18x+15，
由f′（x）＞0，得x＜-5或x＞-1；由f′（x）＜0，得-5＜x＜-1，
∴x=-5时，有极大值26；x=-1时，有极小值-6．
增区间为（-∞，-5），（-1，+∞）．
点评：本题考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
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