Question

6．已知单位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角为锐角，对t∈R，|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{b}$|的取值范围是[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞），若向量$\overrightarrow{c}$满足（$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$）=0，则|$\overrightarrow{c}$|的最小值为$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根据|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{b}$|的最小值得出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为θ=60°，设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{a}$，则$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$，由（$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$）=0得出C在以BM为直径的圆P上，求出圆P的半径和OP的长，从而得出|$\overrightarrow{c}$|的最小值．

解答 解：设$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
∵|$\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}$|$≥\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴1+t²-2tcosθ≥$\frac{3}{4}$，即t²-2cosθ•t+$\frac{1}{4}$≥0．
∴△=4cos²θ-1=0，
∴cosθ=$\frac{1}{2}$．即单位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角为60°．
设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{a}$，
则$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$，
∵（$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$）=0，∴MC⊥BC．
∴C在以BM为直径的圆P上．
∵OB=OA=1，∠AOB=60°，OM=2，
∴圆P的半径r=BP=$\frac{1}{2}BM$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OP=$\sqrt{O{B}^{2}+B{P}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
∴OC的最小值为OP-r=$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{7}-\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，平面向量的数量积运算，属于中档题．