Question

如图，四边形MNPQ是⊙C的内接梯形，C是圆心，C在MN上，向量

CM

与

PN

的夹角为120°，

QC

•

QM

=2．
（1）求⊙C的方程；
（2）求以M、N为焦点且过点P、Q的椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）建立直角坐标系，确定圆心，解三角形并利用2个向量的数量积公式求出半径，从而写出圆的方程．
（2）根据椭圆的定义、几何性质，求出a、b、c 的值，写出标准方程

解答：解：（1）以MN所在直线为x轴，C为原点，建立直角坐标系xOy．
∵

CM

与

PN

的夹角为120°，故∠QCM=60°．
于是△QCM为正三角形，∠CQM=60°．
又

QC

•

QM

=2，即|

QC

||

QM

|cos∠CQM=2，于是r=|

QC

|=2．
故⊙C的方程为x²+y²=4．

（2）依题意2c=4，2a=|QN|+|QM|，
而|QN|=

42-22

=2

3

，|QM|=2，
于是a=

3

+1，b²=a²-c²=2

3

．
∴所求椭圆的方程为

x2

4+2 3

+

y2

2 3

=1．

点评：本题考查求圆的标准方程、求椭圆的标准方程的方法．