Question

3．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，设E为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）设异面直线BP与CD所成角为45°，AP=1，AD=$\sqrt{3}$，求三棱锥E-ACD的体积．

Answer 1

分析 （1）连BD交AC于F，推导出PB∥EF，由此能证明PB∥平面AEC；
（2）由AB∥CD，知异面直线BP与CD所成角的平面角为∠ABP=45°，由此能求出三棱锥E-ACD的体积．

解答 证明：（1）连BD交AC于F，F为BD中点，
连EF又在三角形PBD中，E为PD的中点，
∴PB∥EF，
∵EF⊆平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
解：（2）∵AB∥CD，
∴异面直线BP与CD所成角的平面角为∠ABP=45°，
∴AB=AP=1，
∴${V_{E-ACD}}=\frac{1}{2}{V_{P-ACD}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．