某市对居民在某一时段用电量进行调查后.为对数据进行分析统计.按照数据大.小将数据分成A.B.C三组.如表所示: 分组 A B C 用电量 (0.80] (80.250] 从调查结果中随机抽取了10个数据.制成了如图的茎叶图:(Ⅰ)写出这10个数据的中位数和极差,(Ⅱ)从这10个数据中任意取出3个.其中来自B组的数据个数为ξ.求ξ的分布列和数学期望,(Ⅲ)用抽取� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．

某市对居民在某一时段用电量（单位：度）进行调查后，为对数据进行分析统计，按照数据大、小将数据分成A、B、C三组，如表所示：

分组	A	B	C
用电量	（0，80]	（80，250]	（250，+∞）

从调查结果中随机抽取了10个数据，制成了如图的茎叶图：
（Ⅰ）写出这10个数据的中位数和极差；
（Ⅱ）从这10个数据中任意取出3个，其中来自B组的数据个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）用抽取的这10个数据作为样本估计全市的居民用电量情况，从全市依次随机抽取20户，若抽到n户用电量为B组的可能性较大，求n的值．

分析（Ⅰ）由茎叶图得这10个数从小到大为46，81，96，125，133，150，163，187，205，256，由此能求出这10个数据的中位数和这10个数据的极差．
（Ⅱ）这10个数据中A组中有1个，B组中有8个，C组中有1个，从这10个数据中任意取出3个，来自B组的数据个数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3，分另求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
（Ⅲ）设X为从全市依次随机抽取20户中用电量为B组的家庭数，则X～B（20，$\frac{4}{5}$），由此能求出从全市依次随机抽取20户，若抽到n户用电量为B组的可能性较大，能求出n．

解答解：（Ⅰ）由茎叶图得这10个数从小到大为：46，81，96，125，133，150，163，187，205，256，
位于中间的两个数是133和150，
∴这10个数据的中位数是$\frac{133+150}{2}$=141.5，
这10个数据的极差为：256-46=210．
（Ⅱ）这10个数据中A组中有1个，B组中有8个，C组中有1个，
∴从这10个数据中任意取出3个，其中来自B组的数据个数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{8}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{15}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{8}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{15}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{2}^{0}{C}_{8}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{15}$，
∴ξ的可能取值为：

ξ	1	2	3
P	$\frac{1}{15}$	$\frac{7}{15}$	$\frac{7}{15}$

Eξ=$1×\frac{1}{15}+2×\frac{7}{15}+3×\frac{7}{15}$=$\frac{12}{5}$．
（Ⅲ）设X为从全市依次随机抽取20户中用电量为B组的家庭数，则X～B（20，$\frac{4}{5}$），
P（X=k）=${C}_{20}^{k}（\frac{4}{5}）^{k}（\frac{1}{5}）^{20-k}$，k=0，1，2，…，20，
设t=$\frac{P（X=k）}{P（X=k-1）}$=$\frac{{C}_{20}^{k}（\frac{4}{5}）^{k}（\frac{1}{5}）^{20-k}}{{C}_{20}^{k-1}（\frac{4}{5}）^{k-1}（\frac{1}{5}）^{21-k}}$=$\frac{82-4k}{k}$，
若t＞1，则k＜16.4，P（X=k-1）＜P（X=k）；
若k＜1，则k＞16.4，P（X=k-1）＞P（X=k），
∴当k=16或k=17时，P（X=k）可能最大，
$\frac{P（X=16）}{P（X=17）}$=$\frac{{C}_{20}^{16}（\frac{4}{5}）^{16}（\frac{1}{5}）^{4}}{{C}_{20}^{17}（\frac{4}{5}）^{17}（\frac{1}{5}）^{3}}$=$\frac{17}{16}$＞1，
∴从全市依次随机抽取20户，若抽到n户用电量为B组的可能性较大，则n=16．

点评本题考查中位数和极差的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．