Question

9．函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+2}$（x∈R），若f（x+$\frac{π}{3}$）=a有实数解，则实数a的取值范围是[-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]．

Answer 1

分析 可转化为f（x）=a有实数解，讨论函数的性质以确定函数的值域，从而解得．

解答 解：若使f（x+$\frac{π}{3}$）=a有实数解，
则只需使f（x）=a有实数解，
又∵函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+2}$在R上是奇函数，
且f（0）=0，
当x＞0时，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+2}$=$\frac{1}{x+\frac{2}{x}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故0＜f（x）≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
结合函数的奇偶性知，
f（x）的值域为[-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]，
故a的取值范围是[-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用及转化思想的应用．