Question

8．已知函数f（x）=e^x-ex，g（x）=2ax+a，其中e为自然对数的底数，a∈R．
（1）求证：f（x）≥0；
（2）若存在x₀∈R，使f（x₀）=g（x₀），求a的取值范围；
（3）若对任意的x∈（-∞，-1），f（x）≥g（x）恒成立，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）判断f（x）的单调性，利用单调性求出f（x）的最小值，即可得出结论；
（2）令f（x）=g（x），分离参数得a=$\frac{{e}^{x}-ex}{2x+1}$，求出右侧函数的值域即为a的范围；
（3）令f（x）≥g（x），分离参数得a≥$\frac{{e}^{x}-ex}{2x+1}$，则右侧函数在（-∞，-1）上的最大值为a的最小值．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-e，
∴当x＞1时，f′（x）＞0，当x＜1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
∴f_min（x）=f（1）=0，
∴f（x）≥0．
（2）令f（x）=g（x）得a=$\frac{{e}^{x}-ex}{2x+1}$，
设h（x）=$\frac{{e}^{x}-ex}{2x+1}$，则h′（x）=$\frac{{e}^{x}（2x-1）}{（2x+1）^{2}}$，
∴当x＞$\frac{1}{2}$时，h′（x）＞0，当x＜$\frac{1}{2}$时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）上是减函数，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数，
∵$\underset{lim}{x→-\frac{1}{2}-}$h（x）=-∞，$\underset{lim}{x→-∞}$h（x）=-$\frac{e}{2}$，h（1）=0，$\underset{lim}{x→-\frac{1}{2}+}$h（x）=+∞，$\underset{lim}{x→+∞}$h（x）=+∞．
∵存在x₀∈R，使f（x₀）=g（x₀），∴a=$\frac{{e}^{x}-ex}{2x+1}$有解．
∴a≥0或a＜-$\frac{e}{2}$．
（3）∵当x∈（-∞，-1）时，f（x）≥g（x）恒成立，即e^x-ex≥a（2x+1）在（-∞，-1）上恒成立，
∴a≥$\frac{{e}^{x}-ex}{2x+1}$在（-∞，-1）上恒成立．
由（2）可知h（x）=$\frac{{e}^{x}-ex}{2x+1}$在（-∞，-1）上是减函数，
且$\underset{lim}{x→-∞}$h（x）=-$\frac{e}{2}$，
∴a≥-$\frac{e}{2}$．
即a的最小值为-$\frac{e}{2}$．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，属于中档题．