Question

甲，乙，丙三人投篮，甲的命中率为p，乙，丙的命中率均为q（p，q∈（0，1））．现每人独立投篮一次，记命中的总次数为随机变量ξ．
（1）当时，求数学期望E（ξ）；
（2）当p+q=1时，试用p表示ξ的数学期望E（ξ）．

Answer 1

【答案】分析：（1）当时，ξ～，故利用E（ξ）=np可求数学期望；
（2）确定ξ的可能取值，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．
解答：解：（1）当时，ξ～，故数学期望E（ξ）=np=3×=；
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，且P（ξ=0）=（1-q）（1-p）²=pq²，P（ξ=1）=q（1-q）²=pq²+（1-q）p（1-p）=q²+2p²q，
P（ξ=2）=pq（1-p）+（1-q）p²=2pq²+p³，P（ξ=3）=qp²，
∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	pq2	q2+2p2q	2pq2+p3	qp2

∴Eξ=0×pq²+1×（q²+2p²q）+2×（2pq²+p³）+3×（qp²）=1+p．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，确定变量的取值，求出概率是关键．