Question

15．已知a，b，c∈R，且$\frac{1}{1+{a}^{2}}$+$\frac{1}{1+4{b}^{2}}$+$\frac{1}{1+9{c}^{2}}$=1，则|6abc-1|的最小值为（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$+1
• B． 2$\sqrt{2}$-1
• C． 3$\sqrt{3}$-1
• D． 2$\sqrt{2}$+1

Answer 1

分析 可设a=tanα，2b=tanβ，3c=tanγ，且α，β，γ∈（0，$\frac{π}{2}$），由同角的基本关系式，可得cos²α+cos²β+cos²γ=1，构造长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，设三边长为x，y，z，可得长方体的对角线与三边的夹角的余弦的平方和为1，由正切函数的定义，结合基本不等式即可得到最小值．

解答 解：可设a=tanα，2b=tanβ，3c=tanγ，且α，β，γ∈（0，$\frac{π}{2}$），
即有$\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}$+$\frac{1}{1+ta{n}^{2}β}$+$\frac{1}{1+ta{n}^{2}γ}$=1，
即$\frac{1}{se{c}^{2}α}$+$\frac{1}{se{c}^{2}β}$+$\frac{1}{se{c}^{2}γ}$=cos²α+cos²β+cos²γ=1，
构造长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，设三边长为x，y，z，
可得长方体的对角线与三边的夹角的余弦的平方和为1，
则|6abc-1|=|tanαtanβtanγ-1|=|$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{z}$•$\frac{\sqrt{{y}^{2}+{z}^{2}}}{x}$•$\frac{\sqrt{{z}^{2}+{x}^{2}}}{y}$-1|
≥|$\frac{\sqrt{2xy}}{z}$•$\frac{\sqrt{2yz}}{x}$•$\frac{\sqrt{2zx}}{y}$-1|=|2$\sqrt{2}$-1|=2$\sqrt{2}$-1．
当且仅当x=y=z时，取得最小值2$\sqrt{2}$-1．
故选：B．

点评 本题考查最值的求法，注意运用三角换元和构造长方体，运用基本不等式，考查运算能力，属于难题．