Question

6．如图，AB为圆O的直径，过点B作圆O的切线BC，任取圆O上异于A、B的一点E，连接AE并延长交BC于点C，过点E作圆O的切线，交边BC于一点D．
（Ⅰ）求证：OD∥AC；
（Ⅱ）若OD交圆O于一点M，且∠A=60°，求$\frac{OM}{OD}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OE，BE，证明：OD⊥BE，AE⊥BE，即可证明OD∥AC；
（Ⅱ）若OD交圆O于一点M，且∠A=60°，求出OD=2OB，即可求$\frac{OM}{OD}$的值．

解答 （Ⅰ）证明：连接OE，BE，则
∵DB，DE分别切圆O于点B，E，
∴BD=DE，
∵OE=OB，
∴OD⊥BE，
∵AB为圆O的直径，
∴AE⊥BE，
∴OD∥AC；
（Ⅱ）解：∵OD∥AC，∠A=60°，
∴∠BOD=60°，
∵圆O切BD于点B，
∴OB⊥BD．
∴OD=2OB，
∵OM=OB，
∴OD=3OM，
∴$\frac{OM}{OD}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查特殊角的三角函数，考查学生的计算能力，属于中档题．