Question

17．在（2-x）¹⁴（x∈R，x≠0）的展开式中，已知第2r项与第r+1项（（r≠1）的二项式系数相等．
（Ⅰ）求r的值；
（Ⅱ）若该展开式的第r项的值与倒数第r项的值相等，求x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意利用二项式系数的性质求得r的值．
（Ⅱ）利用通项公式求得T₅=${C}_{14}^{4}$•2¹⁰•（-x）⁴，倒数第5项，即T₁₁=${C}_{14}^{10}$•2⁴•（-x）¹⁰，根据这两项相等，解得x的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，2r-1=r+1-1或2r-1+r=14，解得r=1（舍去） 或r=5，
故r的值为5．
（Ⅱ）由题意可得T_r=${C}_{14}^{r-1}$•2^15-r•（-x）^r-1，当r=5时，T₅=${C}_{14}^{4}$•2¹⁰•（-x）⁴，
倒数第5项，即T₁₁=${C}_{14}^{10}$•2⁴•（-x）¹⁰，
由题意  ${C}_{14}^{4}$•2¹⁰•（-x）⁴=${C}_{14}^{10}$•2⁴•（-x）¹⁰，解得x=±2．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．