题目内容

已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程 $数学公式$ ，右焦点F（5，0），双曲线的实轴为A₁A₂，P为双曲线上一点（不同于A₁，A₂），直线A₁P、A₂P分别与直线l： $数学公式$ 交于M、N两点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）求证： $数学公式$ • $数学公式$ 为定值．

解：（Ⅰ）依题意可设双曲线方程为： $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴所求双曲线方程为 $\text{[math]}$

（Ⅱ）A₁（-3，0）、A₂（3，0）、F（5，0），设P（x，y），M（ $\text{[math]}$ ），
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∵A₁、P、M三点共线，
∴ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ ，
同理得 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ （定值）
分析：（Ⅰ）先设双曲线方程为： $\text{[math]}$ ，根据题意可得关于a、b的方程组，解可得答案；
（Ⅱ）根据题意，易得A₁、A₂、F的坐标，设P（x，y）、M（ $\text{[math]}$ ），易得向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，又由共线向量的坐标运算，可得M的坐标，进而可得N的坐标，
由此可得： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的坐标，即可得 $\text{[math]}$ ；结合双曲线的方程，代换可得证明．
点评：本题考查双曲线的有关性质，（Ⅱ）的证明运用了坐标法，结合向量的数量积的运算，是典型的解析几何方法，需要加强训练．