Question

4．在△ABC中，已知$A（\sqrt{3}，3）$，AB边上的中线CM所在直线方程为$5\sqrt{3}x+9y-18=0$，∠B的角平分线BT所在直线的方程为y=1．求
（1）求顶点B的坐标；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）设出B（x₀，y₀），根据题意列方程组求出x₀、y₀即可；
（2）根据点A关于角平分线BT的对称点D在直线BC上，求出直线BC的方程，
计算边长|BC|和点A到直线BC的距离d，再求△ABC的面积．

解答 解：（1）设B（x₀，y₀），则AB的中点$M（\frac{{\sqrt{3}+{x_0}}}{2}，\frac{{3+{y_0}}}{2}）$在直线CM上；
所以$5\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}+{x_0}}}{2}+9×\frac{{3+{y_0}}}{2}-18=0$，..①
又点B在直线BT上，即y₀=1；…②
由①②可得x₀=-$\sqrt{3}$，y₀=1，
即B点的坐标为（-$\sqrt{3}$，1）；------（5分）
（2）因为点A（$\sqrt{3}$，3）关于直线BT的对称点D的坐标为（$\sqrt{3}$，-1），
而点D在直线BC上，
由题知得，k_BC=k_BD=$\frac{1-（-1）}{-\sqrt{3}-\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
所以直线BC的方程为x+$\sqrt{3}$y=0；
因为直线BC和直线CM交于C点，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y=0}\\{5\sqrt{3}x+9y-18=0}\end{array}\right.$，解得C（3$\sqrt{3}$，-3）；
则|BC|=$\sqrt{{（3\sqrt{3}+\sqrt{3}）}^{2}{+（-3-1）}^{2}}$=8，
A点到直线BC的距离为d=$\frac{|\sqrt{3}+3\sqrt{3}|}{\sqrt{1+3}}$=2$\sqrt{3}$；
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$×8×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．------（12分）

点评 本题考查了直线方程的应用问题，也考查了点关于直线对称以及距离的计算问题，是综合题．