Question

18．已知梯形ABCD中，AB⊥AD，$\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{DC}，cos∠DAC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\overrightarrow{BE}=m\overrightarrow{BC}$（0＜m＜1），若|$\overrightarrow{AE}$|²=$|{\overrightarrow{AC}}||{\overrightarrow{AB}}$|，则$\frac{CE}{CB}$=（　　）

• A． $\frac{1+\sqrt{15}}{7}$
• B． $\frac{1}{7}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{2+\sqrt{15}}{7}$

Answer 1

分析 建立坐标系，设$\frac{CE}{CB}=λ（0＜λ＜1）$，求出各向量的坐标，列方程解出λ．

解答 解：以A为原点，建立如图直角坐标系，依题意，∠DAC=30°，
不妨设DC=1，则$AD=\sqrt{3}$，AC=2，AB=3，
故$C（1，\sqrt{3}），B（3，0）$，故$\overrightarrow{CB}=（2，-\sqrt{3}）$，则$|{\overrightarrow{CB}}|=\sqrt{7}$；
设$\frac{CE}{CB}=λ（0＜λ＜1）$，故$\overrightarrow{CE}=（2λ，-\sqrt{3}λ）$，故$E（2λ+1，\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）$；
∵${|{\overrightarrow{AE}}|^2}=|{\overrightarrow{AC}}|•|{\overrightarrow{AB}}|$，∴${（2λ+1）^2}+{（{\sqrt{3}-\sqrt{3}λ}）^2}=2×3$，
即7λ²-2λ-2=0，解得$λ=\frac{{1+\sqrt{15}}}{7}$，
故选A．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．