Question

将正方形折成正四棱柱的侧面，正方形的对角线AC被折成折线AEFGC，则∠EFG为定值，试求这个定值．

Answer 1

分析：先通过折叠前后不变量，得到等腰三角形FEG中三边的长，在三角形中再利用余弦定理求出∠EFG即可．

解答：解：设正方形的边长为4，AC=4

2

，E、F、G为对角线AC的四等分点，折叠前后不变量EF=FG=

2

，
空间图形中，过E在对角面上作EH⊥HD，垂足为H，EF、FG和HG和原来图形中的线段相等，
故GH=2，EF=FG=

2

，
在对角面上，由Rt△HEG中勾股定理得EG=

22+( 2 )2

=

6

，
在等腰三角形FEG中，由余弦定理得：
cos∠GFE=

GF2+EF2-GE2

2GF•EF

=

2 2+ 2 2- 6 2

2 2 • 2

=-

1

2

，
故∠GFE为定值且为

2π

3

．

点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题．