Question

非空数集A如果满足：①0∉A；②若对?x∈A，有

1

x

∈A，则称A是“互倒集”．给出以下数集：
①{x∈R|x²+ax+1=0}；  ②{x|x²-4x+1＜0}；  ③{y|y=

lnx

x

，x∈[

1

e

，1)∪(1，e]}；
④{y|y=

2x+ 2 5 x+ 1 x

x∈[0，1) x∈[1，2]

．其中“互倒集”的个数是（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：集合

分析：①当-2＜a＜2时，为空集；
②．即{x|2-

3

＜x＜2+

3

}，2-

3

＜

1

x

＜2+

3

，即可判断出正误；
③．当x∈[

1

e

，1)时，y∈[-e，0），当x∈(1，

1

e

]时，y∈(0，

1

e

]，即可判断出正误；
④，y∈[

2

5

，

12

5

)∪[2，

5

2

]=[

2

5

，

5

2

]且

1

y

∈[

2

5

，

5

2

]，即可判断出正误．

解答： 解：对于集合①．当-2＜a＜2时，为空集；
对于集合②．即{x|2-

3

＜x＜2+

3

}，⇒

1

2+ 3

＜

1

x

＜

1

2- 3

⇒2-

3

＜

1

x

＜2+

3

，故集合②是互倒集；
对于集合③．当x∈[

1

e

，1)时，y∈[-e，0），当x∈(1，

1

e

]时，y∈(0，

1

e

]，显然非互倒集；
对于集合④.y∈[

2

5

，

12

5

)∪[2，

5

2

]=[

2

5

，

5

2

]且

1

y

∈[

2

5

，

5

2

]，故集合④是互倒集．
故选：C．

点评：本题考查了集合的新定义“互倒集”、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．