Question

1．已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），设函数y=[f（x）]²+p•f（x）+q的零点所组成的集合为A，则以下集合不可能是A集合的序号为②④．
①$\left\{{\sqrt{2}，\sqrt{3}}\right\}$
②$\left\{{\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，\frac{1}{4}}\right\}$
③{-2，3，8}
④{-4，-1，0，2}
⑤{1，3，5，7}．

Answer 1

分析 根据函数f（x）的对称性，可得到方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的根，应关于对称轴x=-$\frac{b}{2a}$对称，分别进行判断，即得答案．

解答 解：f（x）=ax²+bx+c的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$，
设函数y=[f（x）]²+p•f（x）+q的零点为y₁，y₂，
则必有y₁=ax²+bx+c，y₂=ax²+bx+c，
方程y₁=ax²+bx+c的两个解x₁，x₂要关于直线x=-$\frac{b}{2a}$对称，
也就是说2（x₁+x₂）=-$\frac{b}{a}$，
同理方程y₂=ax²+bx+c的两个解x₃，x₄也要关于直线x=-$\frac{b}{2a}$对称
那就得到2（x₃+x₄）=-$\frac{b}{a}$，
①$\left\{{\sqrt{2}，\sqrt{3}}\right\}$可以找到对称轴直线x=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$
②$\left\{{\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，\frac{1}{4}}\right\}$不能找到对称轴直线，
③{-2，3，8}可以找到对称轴直线x=3，
④{-4，-1，0，2}不能找到对称轴直线，
⑤{1，3，5，7}可以找到对称轴直线x=4，
故答案为：②④．

点评 本题主要考查二次函数的对称性，二次函数在高中已经作为一个工具来解决有关问题，在解决不等式、求最值时用途很大．