Question

12．已知△ABC是边长为l的等边三角形，D、E分别是AB、AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到三棱锥A-BCF，其中BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）证明：DE∥平面BCF；
（2）证明：CF⊥平面ABF．

Answer 1

分析 （1）利用平行线等分线段定理可求$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，进而可证DE∥BC，从而可判断DE∥平面BCF．
（2）由已知可证AF⊥CF，利用勾股定理可证CF⊥BF，即可证明CF⊥平面ABF．

解答 证明：（1）在等边△ABC中，AD=AE，
∴$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，
在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立，
∴DE∥BC，
∵DE在平面BCF外，BC在平面BCF内，
∴DE∥平面BCF．
（2）在等边△ABC中，F是BC的中点，
所以AF⊥BC，折叠后，AF⊥CF，
∵在△BFC中，BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，BF=CF=$\frac{1}{2}$，
∴BC²=BF²+CF²，因此CF⊥BF，
又AF，BF相交于F，
∴CF⊥平面ABF．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．