Question

7．已知函数f（x）=|x-a|-|2x-1|．
（1）当a=2时，求f（x）+3≥0的解集；
（2）当x∈[1，3]时，f（x）≤3恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）问题转化为解关于x的不等式组，求出不等式的解集即可；（2）根据x的范围，去掉绝对值号，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）当a=2时，由f（x）≥-3，可得|x-2|-|2x-1|≥-3，
①$\left\{\begin{array}{l}x＜\frac{1}{2}\\ 2-x+2x-1≥-3\end{array}\right.$或②$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}≤x＜2\\ 2-x-2x+1≥-3\end{array}\right.$或③$\left\{\begin{array}{l}x≥2\\ x-2-2x+1≥-3\end{array}\right.$，
解①得$-4≤x＜\frac{1}{2}$；解②得$\frac{1}{2}≤x＜2$；解③得x=2，
综上所述，不等式的解集为{x|-4≤x≤2}；
（2）若当x∈[1，3]时，f（x）≤3成立，
即|x-a|≤3+|2x-1|=2x+2，
故-2x-2≤x-a≤2x+2，
即：-3x-2≤-a≤x+2，
∴-x-2≤a≤3x+2对x∈[1，3]时成立，
∴a∈[-3，5]．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．