Question

13．已知函数f（x）=e^x-ax²-bx．
（1）当a＞0，b=0时，讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上零点的个数；
（2）证明：当b=a=1，x∈[$\frac{1}{2}$，1]时，f（x）＜1．

Answer 1

分析 （1）通过转化，问题即求方程e^x=ax²根的个数，通过令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，求导、结合单调性可知h（x）∈（$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞），结合图象即得结论；
（2）通过设h（x）=e^x-x²-x-1，令m（x）=h′（x）=e^x-2x-1，通过m′（x）=e^x-2，利用导数可知当$x∈[\frac{1}{2}，1]$时恒有m（x）＜0，从而h（x）在$[\frac{1}{2}，1]$上为减函数，计算即得结论．

解答 （1）解：当x＞0，a＞0，b=0时，函数f（x）零点的个数即方程e^x=ax²根的个数．
令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，则h′（x）=$\frac{x{e}^{x}（x-2）}{{x}^{4}}$，
则h（x）在（0，2）上单调递减，这时h（x）∈（h（2），+∞）；
h（x）在（2，+∞）上单调递增，这时h（x）∈（h（2），+∞）．
所以h（2）是y=h（x）的极小值即最小值，即$h（2）=\frac{e^2}{4}$，
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上零点的个数，讨论如下：
当$a∈（0，\frac{e^2}{4}）$时，有0个公共点；
当$a=\frac{e^2}{4}$，有1个公共点；
当$a∈（\frac{e^2}{4}，+∞）$有2个公共点．
（2）证明：设h（x）=e^x-x²-x-1，则h′（x）=e^x-2x-1，
令m（x）=h′（x）=e^x-2x-1，则m′（x）=e^x-2，
因为$x∈（\frac{1}{2}，1]$，所以当$x∈[\frac{1}{2}，ln2）$时，m′（x）＜0，此时m（x）在$[\frac{1}{2}，ln2）$上是减函数，
当x∈（ln2，1）时，m′（x）＞0，此时m（x）在（ln2，1）上是增函数，
又$m（\frac{1}{2}）=\sqrt{e}-2＜0$，m（1）=e-3＜0，
所以当$x∈[\frac{1}{2}，1]$时，恒有m（x）＜0，即h′（x）＜0，所以h（x）在$[\frac{1}{2}，1]$上为减函数，
所以$h（x）≤h（\frac{1}{2}）=\sqrt{e}-\frac{7}{4}＜0$，即当$x∈[\frac{1}{2}，1]$时，f（x）＜1．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数形结合能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．