Question

4．设|$\overrightarrow{c}$|=2，向量$\overrightarrow{a}$=（-1，3），$\overrightarrow{b}$=（3，1），则（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）的最大值为（　　）

• A． 8$\sqrt{5}$
• B． 4$\sqrt{5}$-4
• C． 8
• D． 4+4$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由条件即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=（2，4）$，${\overrightarrow{c}}^{2}=4$，这样便可得出$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）=-4\sqrt{5}cosθ+4$，而θ表示向量（2，4）和向量$\overrightarrow{c}$的夹角，从而便可得出$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）$的最大值．

解答 解：根据条件，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0，\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=（2，4），{\overrightarrow{c}}^{2}=4$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}+{\overrightarrow{c}}^{2}$
=$0-（2，4）•\overrightarrow{c}+4$
=$-|（2，4）||\overrightarrow{c}|cosθ+4$
=$-4\sqrt{5}cosθ+4$；
其中，θ表示向量（2，4）和$\overrightarrow{c}$的夹角；
∴cosθ=-1时，$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）$取得最大值$4+4\sqrt{5}$．
故选：D．

点评 考查向量数量积的坐标运算，向量坐标的加法运算，以及向量数量积的运算及计算公式，清楚向量夹角的概念及范围，余弦函数的最值．