Question

18．已知函数f（x）=2sinx（$\sqrt{3}$cosx+sinx）-2．
（1）若点P（$\sqrt{3}$，-1）在角α的终边上，求f（α）的值；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据题意和任意角的三角函数定义求出sinα、cosα，代入解析式求出f（α）的值；
（2）根据二倍角公式、两角差的正弦公式化简解析式，由x$∈[0，\frac{π}{2}]$求出$2x-\frac{π}{6}$的范围，由正弦函数的性质求出f（x）的最小值．

解答 解：（1）∵点P（$\sqrt{3}$，-1）在角α的终边上，
∴sinα=$-\frac{1}{2}$，cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（x）=2sinα（$\sqrt{3}$cosα+sinα）-2
=2×$（-\frac{1}{2}）$（$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}$）-2=-3；
（2）由题意得，f（x）=2sinx（$\sqrt{3}$cosx+sinx）-2
=$\sqrt{3}$sin2x+2sin²x-2=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x-1
=$2sin（2x-\frac{π}{6}）-1$，
由x$∈[0，\frac{π}{2}]$得，$2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，
则$sin（2x-\frac{π}{6}）∈[-\frac{1}{2}，1]$，
即$2sin（2x-\frac{π}{6}）-1∈[-2，1]$，
∴f（x）的最小值是f（0）=-2．

点评 本题考查了任意角的三角函数定义，二倍角公式、两角差的正弦公式，以及正弦函数的性质，属于中档题．