Question

19．已知函数$f（x）={x^2}-\frac{{{ln}\left|x\right|}}{x}$，则函数y=f（x）的大致图象为（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 可得函数为奇函数，进而求导数可得（0，+∞）上的单调性，结合选项分析可得答案．

解答 解：由题意可得函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
函数$f（x）={x^2}-\frac{{{ln}\left|x\right|}}{x}$，可得f（-x）≠±f（x），
故函数为非奇非偶函数，排除：B、C；
当x＞0时，函数$f（x）={x^2}-\frac{{{ln}\left|x\right|}}{x}$=x²-$\frac{lnx}{x}$，f′（x）=2x-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{3}-1+lnx}{{x}^{2}}$，
令g（x）=x³+1-lnx，（x＞0），
g′（x）=3x²-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{3}-1}{x}$，
令g′（x）=0，解得x=$\root{3}{\frac{1}{2}}$，
故当0＜x＜$\root{3}{\frac{1}{2}}$时，g′（x）＜0，g（x）是减函数，
x＞$\root{3}{\frac{1}{2}}$时，函数g（x）是单调递增，g（x）的最小值为g（$\root{3}{\frac{1}{2}}$）=$\frac{3}{2}+ln2$＞0，
∴f′（x）＞0在x＞0时，恒成立，函数是单调增函数，排除A；
综上可得选项D符合题意，
故选：D．

点评 本题考查函数的性质、导数，考查函数的图象，由函数的性质入手是解决问题的关键，属中档题．