Question

13．函数f（x）=sinxcosx+cos²x的减区间是$[{kπ+\frac{π}{8}，kπ+\frac{5π}{8}}]，k∈Z$．

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$．结合正弦函数图象的性质来求其单调减区间．

解答 解：f（x）=sinxcosx+cos²x
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$（1+cos2x）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$．
所以2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z．
所以函数f（x）=sinxcosx+cos²x的减区间是kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，k∈Z．
故答案是：$[{kπ+\frac{π}{8}，kπ+\frac{5π}{8}}]，k∈Z$．

点评 本题考查二倍角公式，涉及三角函数的单调性，属基础题．