Question

17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0．
（1）求角A；
（2）若a=2，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求b，c．

Answer 1

分析 （1）根据条件，由正弦定理可得sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC，化简可得sin（A-30°）=$\frac{1}{2}$，由此求得A的值．
（2）若a=2，由△ABC的面积$\sqrt{3}$，求得bc=4 ①；再利用余弦定理可得 b+c=4 ②，结合①②求得b和c的值．

解答 解：（1）△ABC中，∵acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0，
利用正弦定理可得sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC，
化简可得$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，∴sin（A-30°）=$\frac{1}{2}$，
∴A-30°=30°，∴A=60°．
（2）若a=2，△ABC的面积为$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\sqrt{3}$，∴bc=4 ①．
再利用余弦定理可得a²=4=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-2bc-bc=（b+c）²-3•4，
∴b+c=4 ②．
结合①②求得b=c=2．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．