Question

7．已知直线l的极坐标方程是$ρsin（θ-\frac{π}{6}）=\frac{3}{2}$．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t}\\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$（t为参数），直线l和曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长．

Answer 1

分析 先由极坐标方程求出直角坐标方程，然后转化为参数方程吗，利用参数的应用建立方程组进行求解即可．

解答 解：由直线l的极坐标方程是$ρsin（θ-\frac{π}{6}）=\frac{3}{2}$，可得由直线l的直角坐标方程是$\sqrt{3}y-x=3$，
化为参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}s\\ y=\frac{s}{2}\end{array}\right.$（s为参数）；曲线$C：\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t}\\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$（t为参数）可化为x²-y²=4．
将直线的参数方程代入x²-y²=4，得${s^2}-6\sqrt{3}s+10=0$．
设A，B所对应的参数为s₁，s₂，${s_1}+{s_2}=6\sqrt{3}$，s₁s₂=10，
所以$|{AB}|=\sqrt{{{（{s_1}+{s_2}）}^2}-4{s_1}{s_2}}=2\sqrt{17}$．

点评 本题主要考查坐标系和参数方程的应用，根据极坐标和参数方程进行转化是解决本题的关键．