题目内容

设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，且x1+x2=2a，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）的对称中心．研究并利用函数f（x）=x3-3x2-sin（πx）的对称中心，可得f（
1
2014
）+f（
2
2014
）+…+f（
4026
2014
）+f（
4027
2014
）=（　　）
A、4027B、-4027
C、8054D、-8054
考点：奇偶函数图象的对称性
专题：函数的性质及应用
分析：根据条件得到函数对称中心，即可得到结论．
解答：解：∵当x=1时，f（1）=1+sinπ-3=-2，
∴根据对称中心的定义，可得当x1+x2=2时，恒有f（x1）+f（x2）=-4，
即a=1，b=-2，即函数的对称中心为（1，-2）
∴f（
1
2014
）+f（
2
2014
）+…+f（
4026
2014
 ）+f（
4027
2014
）
=2013[f（
1
2014
）+f（
4027
2014
）]+f（
2014
2014
）
=2013×（-4）-2=-8054，
故选：D．
点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，综合性较强，有一点的难度．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．求过椭圆
x=5cosφ
y=3sinφ
（φ为参数）的右焦点且与直线
x=4-2t
y=3-t
（t为参数）平行的直线l的极坐标方程．
如图是某果园的平面图，实线部分DE、DF、EF游客观赏道路，其中曲线部分EF是以AB为直径的半圆上的一段弧，点O为圆心，△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，其中AB=2千米，∠EOA=∠FOB=2x（0＜x＜
π
4
），若游客在路线DE、DF上观赏所获得的“满意度”是路线长度的2倍，在路线EF上观赏所获得的“满意度”是路线的长度，假定该果园的“社会满意度”y是游客在所有路线上观赏所获得的“满意度”之和，则下面图象中能较准确的反映y与x的函数关系的是（　　）
A、
B、
C、
D、
函数f（x）具有下列特征：f（0）=1，f′（0）=0，
f′(x)
x2
＞0，x•f″（x）＞0，则f（x）的图形可以是下图中的（　　）
A、
B、
C、
D、
函数y=
2xcos2x
4x-1
的图象大致是（　　）
A、
B、
C、
D、
在y轴上的截距为-6，且与y轴相交成30°角的直线方程是
 
．
有一次青年志愿者联欢会上，到会的女青年比男青年多12人，从这些青年中随机挑选一人表演节目，若选到男青年的概率为
9
20
，则参加联欢会的青年共有（　　）
A、120人B、144人
C、240人D、360人
已知m，n∈R，若关于实数x的方程x2+（m+1）x+m+n+1=0的两个实根x1、x2满足0＜x1＜1，x2＞1，则
n
m
的取值范围为（　　）
A、（-2，-
1
2
）
B、（-2，
1
2
）
C、（-1，-
1
2
）
D、（-1，
1
2
）
在直角坐标系xOy中，以原点O为在极点，以x轴非负半轴为极轴且长度单位相同建立极坐标系，曲线C1的参数方程为
x=
1
tanα
y=
1
tan2α
（α为参数），曲线C2的极坐标方程ρ（cosθ+sinθ）=1若曲线C1与曲线C2交于A、B两点，（1）求|AB|的值；
（2）求点M（-1，2）到A、B两点的距离之积．

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