Question

16．如图，正方形ADMN与矩形ABCD所在平面互相垂直 AB=6，AD=3
（Ⅰ）若点E是AB的中点，求证：BM∥平面NDE；
（Ⅱ）若BE=2EA，求三棱锥M-DEN的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AM，交ND于F，连接EF，推导出EF∥BM，由此能证明BM∥平面NDE．
（Ⅱ）当BE=2EA时，EA=$\frac{1}{3}$AB=2，三棱锥M-DEN的体积VM-DEN=VE-NDM，由此能求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）连接AM，交ND于F，连接EF，由正方形ADMN，得AF=FM，又AE=EB，
∴EF∥BM．
∵BM?平面NDE，EF?平面NDE，
∴BM∥平面NDE．
解：（Ⅱ）当BE=2EA时，EA=$\frac{1}{3}$AB=2，
∵AB⊥AD，平面ADMN⊥平面ABCD，
平面ADMN∩平面ABCD=AD，
∴AB⊥平面ADMN．
∴三棱锥M-DEN的体积：
VM-DEN=VE-NDM=$\frac{1}{3}×AE×{S}_{△DNM}$=$\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×{3}^{2}$=3．

点评 本题考查线面平行的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．