题目内容
一个正三棱柱恰好有一个内切球（球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切）和一个外接球（球经过三棱柱的6个顶点），则此内切球与外接球表面积之比为（ ）
| A、1：3 | B、1：5 |
| C、1：7 | D、1：9 |
考点：球的体积和表面积
专题：计算题,空间位置关系与距离
分析：设正三棱柱底面正三角形的边长为a，当球外切于正三棱柱时，球的半径R1等于正三棱柱的底面正三角形的边心距，求出正三棱柱的高为，当球外接正三棱柱时，球的圆心是正三棱柱高的中点，且球的圆心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，求出外接球的半径，即可求出内切球与外接球表面积之比．
解答：
解：设正三棱柱底面正三角形的边长为a，其内切球的半径为R
当球外切于正三棱柱时，球的半径R等于正三棱柱的底面正三角形的重心到对边的距离即R=
a，到相对棱的距离是
a
又正三棱柱的高是其内切球半径的2倍，故正三棱柱的高为
a，
球外接正三棱柱时，球的圆心是正三棱柱高的中点，且球的圆心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，顶点在底面上的投影恰好是底面三角形的重心到顶点的距离
a，棱锥的高为
a，
故正三棱锥外接球的半径满足R22=（
a）2+（
a）2=
a2，
∴内切球与外接球表面积之比为4（πR2）：（4πR22）=R2：R22=1：5．
故选：B．
当球外切于正三棱柱时，球的半径R等于正三棱柱的底面正三角形的重心到对边的距离即R=
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又正三棱柱的高是其内切球半径的2倍，故正三棱柱的高为
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球外接正三棱柱时，球的圆心是正三棱柱高的中点，且球的圆心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，顶点在底面上的投影恰好是底面三角形的重心到顶点的距离
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故正三棱锥外接球的半径满足R22=（
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∴内切球与外接球表面积之比为4（πR2）：（4πR22）=R2：R22=1：5．
故选：B．
点评：本题是基础题，考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，是常考题型，求内切球与外接球的半径是本题的关键．
练习册系列答案
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2014年巴西世界杯刚结束，某足球协会为了调查球迷对本届世界杯的了解情况，组织了“世界杯你问我答一百问”活动，该协会从参加活动的球迷（人数不少于1000人）中随机抽取12名球迷．进行世界杯知识问卷测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如右图所示，根据主办方标准．测试成绩低于80分的为“伪球迷”，不低于80分的为“真球迷”．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点P在线段AD′上运动，则异面直线CP与BA′所成的角θ的取值范围是（ ）
A、0＜θ＜
| ||
B、0＜θ≤
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C、0≤θ≤
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D、0＜θ≤
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已知cos（60°+α）=
，且α为第三象限角，则cos（30°-α）+sin（30°-α）的值为（ ）
| 1 |
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A、
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B、
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C、
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D、
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