题目内容
两圆x2+y2+2
x+a-4=0(a∈R+）和x2+y2-4
y-1+4b=0(b∈R+）恰有三条公切线，则
+
的最小值为
| a |
| b |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
1
1
．分析：把两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，由条件得两圆相外切，故|AB|=3，化简可得
+
=1，代入要求的式子化简后，利用基本不等式求出它的最小值．
| a |
| 9 |
| 4b |
| 9 |
解答：解：两圆的方程分别为圆A：(x+
)2+y2=4，表示以A（-
，0）为圆心，以2为半径的圆，a＞0．
圆B：x2+(y-2
)2=1，表示B（0，2
）为圆心，以1为半径的圆，b＞0．
由于两圆恰有三条公切线，故两圆相外切，故|AB|=2=1=3，
即
=3，a+4b=9，
+
=1．
∴
+
=
+
=
+
+
≥
=2
=1，
当且仅当
=
时，等号成立，则
+
的最小值为1，
故答案为 1．
| a |
| a |
圆B：x2+(y-2
| b |
| b |
由于两圆恰有三条公切线，故两圆相外切，故|AB|=2=1=3，
即
| a+4b |
| a |
| 9 |
| 4b |
| 9 |
∴
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| ||||
| a |
| ||||
| b |
| 5 |
| 9 |
| 4b |
| 9a |
| a |
| 9b |
| 5 |
| 9 |
|
当且仅当
| 4b |
| 9a |
| a |
| 9b |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
故答案为 1．
点评：本题主要考查两圆的位置关系，基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，判断两圆相外切，是解题的关键，属于基础题．
练习册系列答案
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过点A（a，a）可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线，则实数a的取值范围为（ ）
A、a＜-3或1＜a＜
| ||
B、1＜a＜
| ||
| C、a＜-3 | ||
D、-3＜a＜1或a＞
|