Question

11．已知数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，a_n+1=2S_n+1，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃a_n+1，求数列{$\frac{b_n}{a_n}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2S_n+1，得a_n=2S_n-1+1（n≥2），两式相减得a_n+1=3a_n（n≥2），a₂=2S₁+1=2a₁+1=3，满足$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=3．利用等比数列的通项公式即可得出a_n．
（2）由（1）知a_n=3^n-1，故b_n=log₃a_n+1=log₃3ⁿ=n，可得$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{3}^{n-1}}$．利用错位相减法即可得出．

解答 解：（1）由a_n+1=2S_n+1，
得a_n=2S_n-1+1（n≥2），
两式相减得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，
故a_n+1=3a_n（n≥2），
所以当n≥2时，{a_n}是以3 为公比的等比数列．
因为a₂=2S₁+1=2a₁+1=3，∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=3．
所以{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，a_n=3^n-1．
（2）证明：由（1）知a_n=3^n-1，故b_n=log₃a_n+1=log₃3ⁿ=n，
∴$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{3}^{n-1}}$．
T_n=1+2×$\frac{1}{3}$+3×$（\frac{1}{3}）^{2}$+4×$（\frac{1}{3}）^{3}$+…+n×$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，①
$\frac{1}{3}$T_n=1×$\frac{1}{3}$+2×$（\frac{1}{3}）^{2}$+3×$（\frac{1}{3}）^{3}$+…+（n-1）×$（\frac{1}{3}）^{n-1}$+n×$（\frac{1}{3}）^{n}$．②
①-②，得$\frac{2}{3}$T_n=1+$\frac{1}{3}+（\frac{1}{3}）^{2}$+…+$（\frac{1}{3}）^{n-1}$-n×$（\frac{1}{3}）^{n}$=$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n}}{1-\frac{1}{3}}$-n×$（\frac{1}{3}）^{n}$，
∴T_n=$\frac{9}{4}$-$\frac{2n+3}{4}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．